Теорема гаусса примеры. Kvant

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS . Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S . Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS i , определить элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль .

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S , в центре которой находится точечный заряд q . Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR 2 . Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R 0 (рис. 1.3.3).

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS 0 , а на поверхности S – площадку ΔS . Элементарные потоки ΔΦ 0 и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

ΔΦ 0 = E 0 ΔS 0 , ΔΦ = E ΔS cos α = E ΔS ‘ .

Здесь ΔS’ = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n .

Так как , a , следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ 0 через поверхность вспомогательной сферы:

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q , то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q i оказался внутри поверхности S , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R . Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l , закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl , так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R . В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl . Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

где σ – поверхностная плотность заряда , т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

Определим поток напряженности электростати­ческого поля зарядов q 1 ,q 2 ,...q n в вакууме (e=1) через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эти заряды.

Рассмотрим сначала случай сферической повер­х­ности радиусом R, окружающей один заряд +q, нахо­дящийся в ее центре (рис.1.7).

, где - есть интеграл по замкнутой поверхности сферы. Во всех точках сферы модуль вектора одинаков, а сам он направлен перпендикулярно поверхности. Следовательно . Площадь поверхности сферы равна . Отсюда следует, что

.

Полученный результат будет справедлив и для поверхности S¢ произвольной формы, так как ее пронизывает такое же количество силовых линий.

На рисунке 1.8 представлена произвольная замкнутая поверхность, охватываю­щая заряд q>0. Некоторые линии напряженности то выходят из поверхности, то вхо­дят в нее. Для всех линий напряженности число пересечений с поверхностью являет­ся нечетным.

Как отмечалось в предыдущем параграфе, линии напря­женности, выходя­щие из объема, ограниченного замкнутой поверхностью, соз­дают положительный поток Ф е; линии же, входящие в объем, создают отрицательный поток -Ф е. Потоки линий при входе и выходе компенсируются. Таким образом, при расчете суммар­ного потока через всю поверхность следует учитывать лишь одно (не скомпенсированное) пересечение замкнутой поверхности каждой линией напряженности.

Если заряд q не охватывается замкнутой поверхностью S, то количество силовых линий, входящих в данную поверх­ность и выходящих из нее, одинаково (рис.1.9). Суммарный поток вектора через такую поверхность равен нулю: Ф Е =0.

Рассмотрим самый общий случай поверхности про­извольной формы, охватывающей n зарядов. По принципу суперпозиции электростатических полей напряженность , создаваемая зарядами q 1 ,q 2 ,...q n равна векторной сумме напряженностей, создавае­мых каждым зарядом в отдельности: . Проекция вектора - результирующей на­пряженности поля на направление нормали к пло­щадке dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов на это направле­ние: ,

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заря­дов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоян­ную e 0 . Эта формулировка представляет собой теорему К.Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде .

Теорема Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помо­щью можно определить напряженности полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

Произведение напряженности электрического поля E и такой плоской площадки S, во всех точках которой напряженность поля одинакова и перпендикулярная к ней, составляет поток N вектора напряженности через площадку S;

N = ES (6)

Если вектор напряженности не перпендикулярен к площадке, то необходимо определять составляющую вектора напряженности перпендикулярную к площадке, которую называют нормальной составляющей (рис. 1):

N = E n S = (E*cosβ)S

При вычислении потока через произвольную поверхность площадью S в неоднородном поле эту поверхность следует разбить на малые плоские элементы dS в пределах каждого из которых напряженность поля можно считать одинаковой; поток через отдельную элементарную площадку

dN = E n dS

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность находится суммированием (интегрированием) элементарных потоков:

Единицу измерения потока вектора напряженности найдем из формулы (6):

[N] = = В/м *м 2 = В*м (8)

Рис.1 Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля, Рис.2 электрический заряд внутри сферической поверхности

В качестве примера найдем поток вектора напряженности поля точечного заряда Q, помещенного в центре сферической (шаровой) поверхности радиуса R (рис. 2).
Напряженность поля заряда Q одинакова во всех точках этой поверхности и согласно ()

Так как векторы напряженности перпендикулярны к сферической поверхности, то E n = E и проходящий через поверхность поток вектора напряженности поля

Как видно из (9), полученное для частного случая сферической поверхности выражение потока не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения заряда внутри нее. Поэтому формула (9) справедлива для замкнутой поверхности любой формы и произвольно расположенных внутри нее зарядов, суммарное значение которых равно Q.

Итак, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен отношению сумм зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды. Получена соотношение называют теоремой Гаусса.

Наглядно поток изображают электрическими линиями, так чтобы вектор напряженности поля в любой точке был касательным к электрической линии, проведенной через
эту точку. Электрические линия поля неподвижных зарядов начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Число линий, пересекающих данную площадку, выбирают пропорциональным значению потока N через эту площадку. На показан электрические линии точечного заряда + Q 1 .

Электрическое поле неподвижных зарядов называют электростатическим.

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

(13.12)

где- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна

Эта теорема представляет собой только следствие закона Кулона и принципа суперпозиции электрических полей. Вот её формулировка:

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную  0 .

Доказательство теоремы начнём с простейшего случая: вычислим поток вектора напряжённости поля точечного заряда Q .

Напряжённость этого поля хорошо известна (см. 1.3)

Учитывая сферическую симметрию поля, выберем вначале в качестве гауссовой замкнутой поверхности сферу радиусом r , с центром в той точке, где находится зарядQ (рис. 2.5., 1). Поток вектора напряжённости через эту поверхность вычислить легко

Здесь мы учли, что:

Рис. 2.5.

Учитывая последнее замечание, запишем поток (2.7) в следующем виде:

(2.8)

Таким образом, для первого простейшего случая теорема Гаусса оказалась справедливой. Что из этого следует?

Полученный результат позволяет заключить, что найденный поток не зависит от радиуса гауссовой поверхности. Это легко понять: ведь с увеличением расстояния от заряда Q площадь поверхностирастёт пропорционально квадрату радиуса, а напряжённость поляубывает обратно пропорционально квадрату радиуса.

Вспомним, кроме того, что поток вектора напряжённости равен числу силовых линий, пронизывающих гауссову поверхность. Независимость потока от радиуса поверхности означает, что силовые линии поля точечного заряда, начинаясь на положительном заряде, простираются далее до бесконечности, не прерываясь. Отсюда - дальнейшие выводы.

Поток вектора напряжённости поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность (рис. 2.5, 2),охватывающую точечный заряд Q , равен отношению

Этот вывод несомненен, так как поток равен прежнему неизменному числу силовых линий, пронизывающий замкнутую поверхность.

Поток вектора напряжённости, через произвольную замкнутую поверхность, не охватывающую электрический заряд, равен нулю (рис. 2.5, 3).

Этот вывод также легко понять, так как число силовых линий втекающих в гауссову поверхность, равно числу линий, покидающих её. Поэтому суммарный поток через эту поверхность равен нулю.

Теперь можно обратиться к рассмотрению общего случая: пусть произвольная замкнутая поверхность S охватываетN точечных зарядов (рис. 2.6.). Вычислим поток вектора напряжённости суммарного поля через эту поверхностьS, учтя, что в соответствии с принципом суперпозиции результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей

Рис. 2.6.

Итак, воспользовавшись определением потока, вычислим его через произвольную замкнутую поверхность S .

(2.9)

Полученный результат является доказательством справедливости теоремы Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности .