ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ

В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Причины отклонения переменных токов

От синусоидальной формы

Во многих практических случаях токи и напряжения в электрических цепях отличаются от синусоидальной формы. Причины отклонения токов от синусоидальной формы могут быть различные. Например, в радиотехнике, связи, вычислительной технике и т.д. используют импульсы различной формы (рис. 7.1,а, б), получаемые с помощью специальных устройств – импульсных генераторов. Простейший принцип получения прямоугольных импульсов с помощью периодического замыкания и размыкания ключа К показан на рис. 7.1,в.

Рис 7.1 в)

На рис. 7.1,г показано последовательное соединение двух синусоидальных источников различной частоты: и . Выходное напряжение имеет несинусоидальную форму (рис. 7.1,е). При этом, если менять соотношения амплитуд, фаз и частоты источников, то соответственно будет изменяться каждый раз форма выходного напряжения.

Наличие нелинейных элементов также искажает синусоидальную форму сигналов. Пусть вольт-амперная характеристика нелинейного элемента . Тогда при воздействии на цепь синусоидального напряжения ток в цепи будет содержать первую и третью грамоники .

Различные формы сигналов используются в электронных устройствах. Так, для передачи сообщений по линиям связи осуществляют модуляцию гармонического сигнала по амплитуде (АМ), частоте (ЧМ), фазе (ФМ) или передаваемые импульсные сигналы, модулируют по амплитуде (АИМ), ширине (ШИМ), временному положению (ВИМ). Такие сигналы имеют сложную негармоническую форму. Электрические генераторы промышленной частоты генерируют э.д.с., строго говоря, несинусоидальной формы, так как зависимость индукции от напряженности поля, нелинейная. Кроме того, на форму э.д.с. влияют наличие пазов и зубцов, размещение обмоток и т. д. В силовой энергетике искажение формы напряжений и токов является вредным, так как увеличиваются потери в устройствах, например за счет гистерезиса и вихревых токов, и тем самым ухудшаются экономические показатели устройства.

Представление периодических несинусоидальных токов

В виде рядов Фурье

Для анализа явлений, происходящих в линейных электрических цепях при воздействии несинусоидальных э.д.с. используют представление воздействий в виде сумм синусоидальных э.д.с. различной частоты. Другими словами, периодические колебания , удовлетворяющие условиям Дирихле (т.е. имеющие конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов) могут быть представлены в виде ряда Фурье. Заметим, что колебания, используемые в элнктротехнических устройствах, всегда удовлетворяют условиям Дирихле. Периодическая функция f (wt ) может быть представлена в виде тригонометрического ряда Фурье:

,

(7.1)

где k – номер (порядок) гармоники; , – амплитуда и начальная фаза k -й гармоники; – постоянная составляющая или нулевая гармоника. Здесь и далее индекс в скобках (k ) будет обозначать номер гармоники. Если k =1, гармоника называется основной (первой). При k =2, 3,…, n составляющие ряда носят название высших гармоник, период которых равен .

Используя соотношение

и, вводя обозначения: , , w t= a, записываем ряд (7.1) в виде:

Как видно из (7.5), постоянная составляющая равна среднему значению функции f (t ) за период основной гармоники . Иногда в рядах (7.1) и (7.2) постоянную составляющую обозначают , тогда (7.5) перепишется в виде

.

Коэффициенты и начальные фазы ряда (7.1) связаны с коэффициентами ряда (7.2) соотношениями:

.

(7.6)

При определении начальной фазы следует учитывать, в каком квадранте находится .

Разложение в ряд Фурье (7.2) различных периодических функций имеется во многих справочниках по математике. Для облегчения разложения следует учитывать свойства периодических функций. В табл. 7.1 показана связь условий симметрии периодической функции с содержанием гармонического ряда. Наличие коэффициентов разложения помечено знаком (+), отсутствие – знаком (0).

Разложение в ряд Фурье также зависит от выбора начала отсчета времени. При смещении начала отсчета изменяются начальные фазы и зависящие от них коэффициенты и , однако амплитуды гармоник и их взаимное расположение сохраняются.

Таблица 7.1

При графическом изображении отдельных гармоник следует иметь ввиду, что масштабы углов по оси абсцисс для разных гармоник различ ны. Для k –й гармоники масштаб углов в k раз больше, чем для пер вой гармоники.Соответственно период k –й гармоники (угол ) занимает

Рис. 7.2

отрезок, в k раз меньший, чем для первой гармоники. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 7.1

На рис. 7.2,а изображена несинусоидальная функция тока i, которая представлена суммой первой i (1) и третьей i (3) гармоник. Пользуясь шкалами, указанными на осях, требуется записать аналитическое выражение тока .

Решение

На рис. 7.2,б показан порядок вычисления начальных фаз гармоник. С учетом найденных по рис. 7.2,б амплитуд и фаз гармоник исходная функция будет записана в виде

Необходимо заметить, что для увеличения точности расчетов следует учитывать возможно большее количество членов ряда Фурье. Так как искомую функцию представить в виде бесконечного ряда Фурье невозможно, то ограничиваются понятием "практически точное" разложение, например, когда действующее значение всех высших гармоник не превышает 1% от действующего значения основной гармоники. Понятие "практически точное" разложение вводится не только для сокращения объема расчетов. Как уже отмечалось в главе 1 (часть I) схема замещения электротехнического устройства зависит от диапазона частот. Поэтому, увеличивая точность расчетов, мы все равно выйдем за рамки рассматриваемой модели электротехнического устройства. Следует также учесть, что функции, имеющие разрывы (скачки), при представлении их тригонометрическим рядом делают скачок вблизи разрыва, примерно на 18% больший, чем исходная функция (явление Гиббса).

Пример 7.2

Рассмотрим разложение в ряд Фурье кривой выпрямленного напряжения (жирная линия) для случая m -фазного выпрямления, когда период функции в m раз меньше периода синусоиды питающего напряжения (рис. 7.3,а).

Решение

В этом специфическом случае номера гармоник k кратны числу фаз m и ряд Фурье содержит гармоники порядка k =n m , где n =1, 2, 3, 4,…, то есть k =m , 2m , 3m , 4m и так далее.

Определим коэффициенты ряда:

;	(7.7)
а)
б)	в)
Рис. 7.3

В частном случае двухполупериодного выпрямления m =2 (рис. 7.3,б) разложение в ряд Фурье имеет вид

Представление функций в виде ряда (7.1) или (7.2) не всегда удобно. Например, при символическом методе расчета предпочтительнее использовать разложение в ряд Фурье в комплексной форме. При такой форме разложения также упрощаются операции интегрирования и дифференцирования.

Ряд Фурье в комплексной форме

Комплексная форма записи ряда Фурье является более удобной и полезной в практических расчетах электрических цепей при несинусоидальных воздействиях. Так, символическая запись комплекса мгновенного значения при синусоидальном воздействии вида будет

Зная комплексную амплитуду (7.13), ряд Фурье (7.1) записываем, используя известные нам правила перехода от комплексных значений к мгновенным:

можно рассматривать как частный случай формулы (7.13) при и , тогда выражение (7.14) можно записать как

.

(7.16)

Совокупность комплексных амплитуд всех гармоник исходной несинусоидальной функции можно рассматривать, как дискретные частотные характеристики (спектры) этой функции: F m (k ) (k w) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); y (k ) (k w) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Эти характеристики принято изображать на графике в виде линейчатых спектров, в которых расстояние между спектральными линиями . С увеличением периода плотность спектральных линий возрастает.

Теоретически ряд Фурье содержит бесконечно большое число членов, однако ряд быстро сходится и при расчете можно ограничиться небольшим числом гармоник. По амплитудному спектру можно судить о соотношениях между амплитудами гармоник и определить полосу частот, в пределах которой

Коэффициенты комплексного ряда Фурье для функции

имеют вид

Если , то и (7.20) получается в виде

.

(7.21)

Результаты расчета амплитудно-частотной характеристики при приведены в табл. 7.2.

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций непрерывных на отрезке [a ,b ], называется ортогональной системой функции на отрезке [a ,b ], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке ,

если выполняется условие

Пусть теперь f (x ) - любая функция непрерывная на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на отрезке [a ,b ] по ортогональной системе называется ряд:

коэффициенты которого определяются равенством:

N=1,2,...

Если ортогональная система функций на отрезке [a ,b ] ортонормированная, то в этом случаи

где n =1,2,...

Пусть теперь f (x ) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на томже отрезке

по ортогональной системе называется ряд:

Если ряд Фурье функции f (x ) по системе (1) сходится к функции f (x ) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a ,b ]. В этом случае говорят что f (x ) на отрезке [a ,b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функцииf (x ), если определяется равенством

,где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n =1,2, . . .)

Задача о колебании струны

Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x =l . Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u (x,t ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению

(1) , где а - положительное число.

Наша з а д а ч а - найти функцию u (x,t ) , график которой дает форму струны в любой момент времени t , т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

и начальных условиях:

Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u (x ,t ) 0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведенияu (x,t )=X (x )T (t ), (4) , где , .

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:

Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:

Используя это условие X (0)=0, X (l )=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.

a) Пусть ТогдаX ”=0 и его общее решение запишется так:

откуда и ,что невозможно, так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть . Тогда решив уравнение

получим , и, подчинив, найдем, что

в) Если то

Уравнения имеют корни:

где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:

откуда , т. е.

(n =1,2,...)

(n =1,2,...).

Учитывая это, можно записать:

(N=1,2,...).

и, следовательно

, (n =1,2,...),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

, (n =1,2,...),

где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u (x,t ) начальным условиям, т. е. подберем и так, чтобы выполнялись условия

Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки в ряд Фурье по синусам. (Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой

(n =1,2,...)

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f (x ) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L , L ] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x )

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

Где ,

.

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Пусть f (x )-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точкиx =0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

(3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f (x ) запишется так:

,

где a (u ) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f (x ) :

(4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

,

где b (u ) определяется равенством (4).

Комплексная форма интеграла Фурье

, (5)

.

Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f (x ).

Если в формуле (5) заменить c (u ) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

где n =1,2,... , k =1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N -мерный вектор

при этом, .

Глава 2

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пусть вещественная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке -L , L . Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:

Если в (10.1) выразить и через показательную функцию от мнимого аргумента:

то получим ряд

где в силу (10.2)

Последние три формулы можно объединить:

Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию, где - комплексное число, в ряд Фурье на промежутке.

Решение . Найдем коэффициенты Фурье:

Поскольку, то

Искомое разложение будет иметь вид

где учтено, что

Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля

можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

Тогда из (10.6) следует

Упражнение 1. Доказать, что

Указание . Положить в (10.5) х = 0 и х = .

Упражнение 2. Доказать, что при

Интеграл Фурье

Сходимость интеграла Фурье

Пусть функция определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке -L , L заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

Частота k -й гармоники; .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

При величина. Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции по переменной в промежутке. Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при вместо ряда получим интеграл

Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть - интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция, во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке, т.е. интеграл сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (-L , L ). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к, т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка. Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.

Преобразование Фурье

Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим

Если функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция непрерывна на промежутке. Действительно, так как, то

и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех, поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно. Отсюда и следует, что функция непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).

Из (11.4) получим

Комплексная функция, определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции. В свою очередь, формула (12.3) определяет как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции. Равенство (12.3) при заданной функции можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции, решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции при заданной дает формула (12.3).

В формуле (12.3) выражение задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке и суммарной комплексной амплитудой. Функция называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде

можно трактовать, как разложение функции в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке.

Равенства Парсеваля. Пусть и - Фурье-образы вещественных функций и соответственно. Тогда

т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем. Заменив функцию ее выражением (12.3) через Фурье-образ, получим

В силу (12.1)

Поэтому, т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при.

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать, также является вещественной четной функцией. Действительно,

Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,

Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.

Из (12.6) следует, что функция вещественна и четным образом зависит от, так как входит в (12.6) только через косинус.

Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает

Так как и - соответственно четная и нечетная функции переменной, то

Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.

Аналогично, если вещественная функция нечетна, то ее преобразование Фурье, где - вещественная нечетная функция от. При этом

Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.

Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции только для. Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке. В этом случае при интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

a 0 /2 + a 1 cosx + b 1 sinx + a 2 cos2x + b 2 sin2x + ... + a n cosnx + b n sinnx + ...

где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n , b n , ... - коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом "сигма":

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда , в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

1/2, cosx , sinx , cos2x , sin2x , ..., cosnx , sinnx , ... .

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

,

,

.

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π , π ] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F (x ) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f (x ) , если на отрезке [-π , π ] имеет место F (x ) = f (x )

Если на отрезке [-π , π ] ряд Фурье сходится к функции f (x ) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f (x ) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f (x ) и её производная f " (x ) - непрерывные на отрезке [-π , π ] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f (x ) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , в которой f (x ) непрерывна, сумма ряда равна f (x ) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f (x ) справа и слева:

,

где и .

На концах отрезка [-π , π ] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

.

В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , сумма ряда Фурье равна F (x ) , если x - точка непрерывности F (x ) , и равна среднему арифметическому пределов F (x ) слева и справа:

,

если x - точка разрыва F (x ) , где F (x ) - периодическое продолжение f (x ) .

Пример 1. Периодическая функция f (x ) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f (x ) = |x | . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f (x ) определена на отрезке [-π , π ] и является чётной, т. е. f (- x ) = f (x ) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:

,

.

Пусть теперь функция f (x ) , определённая на отрезке [-π , π ] , нечётная, т.е. f (x ) = - f (- x ) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой

.

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f (x ) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы .

Пример 3.

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл :

.

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы :

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Жан Фурье родился 21 марта 1768 года. Его первые труды относятся к алгебре. В лекциях 1796 года он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубликовано в 1820 году), названную его именем; полное решение вопроса о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 году Ж. Ш. Ф. Штурмом.

В 1818 году Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Исааком Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 году французским математиком Ж. Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является "Анализ определённых уравнений", изданный посмертно в 1831 году.

Основной областью занятий Жана Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 годах он представил Парижской АН свои первые открытия по теории распространения тепла в твёрдом теле, а в 1822 году опубликовал работу "Аналитическая теория тепла", сыгравшую большую роль в последующей истории математики. В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Даниилом Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (Фурье метод), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье, которые хотя и рассматривались иногда ранее, но стали действенным и важным орудием математической физики только у Фурье. Метод разделения переменных получил дальнейшее развитие в трудах С. Пуассона, Михаила Васильевича Остроградского и других математиков 19 века.

"Аналитическая теория тепла" явилась отправным пунктом создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых общих проблем математического анализа. Фурье привёл первые примеры разложения в тригонометрические ряды Фурье функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Тем самым он внёс важный вклад в решение знаменитого спора о понятии функции, в котором участвовали крупнейшие математики 18 века. Его попытка доказать возможность разложения в тригонометрический ряд Фурье любой произвольной функции была неудачна, но положила начало большому циклу исследований, посвященных проблеме представимости функций тригонометрическими рядами (П. Дирихле,Николай Иванович Лобачевский, Б. Риман и др.). С этими исследованиями было в значительной мере связано возникновение теории множеств и теории функций действительного переменного.

Ряды Фурье для комплексных функций

Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида , где i – мнимая единица, – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .

Скалярным произведением функций назовем комплексное число

где – функция, комплексно сопряженная с функцией .свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:

2. билинейность

Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение нормы функции оставим прежним, так что

Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:

1. теорема косинусов.

или в более общем виде

2. Обобщенная теорема Пифагора. Если , то

3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции и непрерывны, то .

В самом деле, если , то на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (1.2), где и , имеем

Таким образом, , а так как , то , что и требовалось доказать.

Пусть теперь система комплексных функций

ортогональна на промежутке . Сопоставим функции ее ряд Фурье

где коэффициенты Фурье

Введем обозначения: – частичная сумма ряда Фурье; – произвольная линейная комбинация функций где .

Тогда, так же, как для вещественных функций выполняется неравенство

где , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. среди всех функций функция дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции .

Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются

а) если для некоторой функции выполняется равенство Парсеваля

то ряд (1.4) сходится в среднем к , т.е. ;

б) ортогональная система функций (1.3) называется замкнутой на промежутке , если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из .

Введем в рассмотрение систему комплексных функций

Свойства системы функции (1.7) следующие:

2. Функции являются 2L -периодичными: .

3. Система функций (1.7) ортогональна на промежутке [–L , L ]. Действительно, при

Здесь использована формула .

Ряд Фурье для функции по системе функций (1.7) имеет вид

где коэффициенты Фурье

Система функций (1.7) замкнута на [–L , L ] , поэтому для нее справедливы следующие утверждения:

а) ряд (1.8) сходится в среднем к ,

б) для любой функции из выполняется равенство Парсеваля ,

в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции частичной суммой ее ряда Фурье,

Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции удовлетворяют на промежутке [–L , L ] условиям Дирихле, то функция является суммой своего ряда Фурье:

Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Пусть вещественная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L , L ]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:

Если в (2.1) выразить и через показательную функцию от мнимого аргумента:

то получим ряд

где в силу (2.2)

Последние три формулы можно объединить:

Ряд (2.3) с коэффициентами (2.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию , где – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .

Решение . Найдем коэффициенты Фурье:

Поскольку , то

Искомое разложение будет иметь вид

где учтено, что

Применяя к ряду (2.5) равенство Парсеваля

можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

Тогда из (2.6) следует

Принята, особенно в электротехнике и радиотехнике, следующая терминология. Выражения называют гармоникой, иногда так же называют комплексной гармоникой, называют волновыми числами. Совокупность волновых чисел называется спектром. Если обкладывать эти числа на числовой оси, то получим совокупность отдельных точек. Такую совокупность называют дискретной, а соответствующий спектр дискретным.

Ряды Фурье применяются при разработке радиоэлектронных систем управления и наведения различных зенитно-ракетных комплексов, космических аппаратов, при расчетах заданных параметров управления полетом.

Пример 4. Представить рядом Фурье в комплексной форме функцию